C*-Algebren sind Algebren beschränkter Operatoren auf einem Hilbertraum, die unter der Konvergenz in Norm und dem Bilden der Adjungierten abgeschlossen sind. Trotz ihrer einfachen Definition ist ihre Theorie außerordentlich reichhaltig. Sie treten in vielfältigen Zusammenhängen auf: In der Physik als Algebren von Observablen, im Zusammenhang mit (unitären) Darstellungen von Gruppen, sowie als nicht-kommutative Verallgemeinerung der Algebra der Funktionen auf einem topologischen Raum in der "nicht-kommutativen Geometrie", z.B. als C*-Algebra einer Blätterung. In der Vorlesung werden wir die Theorie bei den grundlegenden Definitionen beginnend aufbauen und wichtige Beispielklassen wie Gruppen-C*-Algebren und von Isometrien erzeugte C*-Algebren untersuchen. Gegen Ende der Vorlesung werden wir die K-Theorie von C*-Algebren studieren. Diese erlaubt es, nichtkommutative Verallgemeinerungen von Vektorbündeln zu klassifizieren. Stichwörter zu den Inhalten der Vorlesung

  • Spektraltheorie, Ideale und Positivität,
  • Darstellungen von C*-Algebren,
  • Funktionalkalkül,
  • Erzeuger und Relationen,
  • Nichtkommutative Tori,
  • Gruppen-C*-Algebren und Kreuzprodukte,
  • K-Theorie: Stabilität, Homotopie-Invarianz und Bott-Periodizität.

Zielgruppe: Masterstudenten in Mathematik und Physik; Vorkenntnisse in Funktionalanalysis sind nützlich.
Inhaltliche Zuordnung (f.d. B/M-Studium Mathematik): Weitere Veranstaltungen der Analysis.

Termine

Vorlesung: Mo und Mi, 10:15-11:45 Uhr, Raum 314 am MI
Übung: Di, 12:00-13:30 Uhr, Raum 314 am MI

Literatur

Zu den Inhalten der Vorlesung:

  • K.R. Davidson, C*-Algebras by Example. Fields Institute Monographs 6, American Mathematical Society, Providence, RI 1996.
  • G.J. Murphy, C*-Algebras and Operator Theory. Academic Press, Inc., Boston, MA 1990.
Weitere Literatur:
  • B. Blackadar, K-Theory for Operator Algebras. Second Edition. Mathematical Sciences Research Institute Publications 5, Cambridge University Press, Cambridge 1998.
  • P.A. Fillmore, A User’s Guide to Operator Algebras. John Wiley & Sons, Inc., New York 1996.
  • G.K. Pedersen, C*-Algebras and Their Automorphism Groups. London Mathematical Society Monographs 14, Academic Press, Inc., London–New York 1979.

Übungen

Skript