Die Maxwellgleichungen der Elektrodynamik beschreiben das elektrische und magnetische Feld ($\textbf E$ bzw. $\textbf B$) durch das Vektorpotential $\textbf A$. Die Veränderung von $\textbf A$ um einen Phasenfaktor $e^{i\psi}\in\mathrm U(1)$ führt zu einer neuen Lösung $(\textbf E',\textbf B)$ der Maxwellgleichungen. Dies ist der Prototyp einer `Eichtransformation'. In modernen Formulierungen der fundamentalen Wechselwirkungen wird $\mathrm U(1)$ ersetzt durch eine nicht-abelsche Lie-Gruppe. Das mathematische Konzept zur Behandlung dieser Theorien ist das des Hauptfaserbündels (Prinzipalbündels). Dieses Konzept ist auch in der modernen Differentialgeometrie unerlässlich. In dieser Sprache wird das Vektorpotential $\mathbf A$ zu einer Zusammenhangsform auf einem $\mathrm U(1)$-Hauptfaserbündel - ein `$\mathrm U(1)$-Eichfeld' in physikalischer Terminologie. In der Vorlesung soll die Theorie von Hauptfaserbündeln und $G$-Zusammenhängen von Grund auf aufgebaut werden. Hierzu werden lediglich Grundkenntnisse in Mannigfaltigkeiten und Lie-Gruppen vorausgesetzt, die je nach Bedarf aber in Kurzform nachgetragen werden können. Aufbauend darauf soll die Theorie der charakteristischen Klassen behandelt werden. Als Anwendung werden wir die Yang-Mills-Gleichung studieren, mit besonderem Augenmerk auf Instantonlösungen.

Zielgruppe: Masterstudenten in Mathematik und Physik; Grundkenntnisse zu Mannigfaltigkeiten und Lie-Gruppen sind nützlich.
Inhaltliche Zuordnung (f.d. B/M-Studium Mathematik/Wirtschaftsmathematik): Geometrie und Topologie.

Termine

Vorlesung: Mo, 12-13:30 Uhr, Kleiner Hörsaal am MI
Übung: Do, 16-17:30 Uhr, Seminarraum 1 am MI

Literatur

  • H. Baum, Eichfeldtheorie - Eine Einführung on die Differentialgeometrie auf Faserbündeln, 2. Auflage, Springer Spektrum, Berlin Heidelberg, 2009 2014.
  • J. Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, Sixth Edition, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2011.
  • M.F. Atiyah, Geometry of Yang-Mills Fields, Scuola Normale Superiore Pisa, Pisa, 1979.
  • V. Guillemin, S. Sternberg: Symplectic Techniques in Physics, Cambridge University Press, Cambridge, 1984.

Skript

Übungen