Supermannigfaltigkeiten sind geometrische Objekte, deren Definition durch die mathematisch präzise Formulierung physikalischer Feldtheorien, in denen bosonische und fermionische Felder gleichzeitig auftreten, motiviert ist. Sie haben aber auch in vielen anderen Bereichen interessante Anwendungen; nicht zuletzt lassen sich manche Konstruktionen aus der klassischen Differentialgeometrie (wie der de Rham-Komplex) im Rahmen von Supermannigfaltigkeiten sehr elegant durchführen. In der Vorlesung werden wir die Theorie von Supermannigfaltigkeiten von Grund auf entwickeln. Die Zugänge über Garben, Punkt- und Weilfunktoren werden wir von Anfang an parallel betrachten. Im Hinblick auf analytische Fragestellungen werden wir von Beginn an Differentialoperatoren in den Mittelpunkt stellen und die Integrationstheorie auf Supermannigfaltigkeiten ausführlich besprechen, die aufgrund der subtilen Abhängigkeit von Koordinatenwechseln einige Überraschungen parat hat. Hier werden wir brandneue Resultate besprechen, die in der derzeit verfügbaren Lehrbuchliteratur nicht zu finden sind. Wir werden uns insbesondere der invarianten Integration auf Lie-Supergruppen und homogenen Superräumen widmen, im Hinblick auf Anwendungen in der Darstellungstheorie und harmonischen Analysis.

Die Vorlesung bietet Master- und Diplomstudierenden die Möglichkeit, fundierte Kenntnisse im Bereich der Supergeometrie und Lie-Supergruppen zu erwerben. Sie folgt dem Manuskript eines Buchprojekts.

Voraussetzungen: Grundlagen von Mannigfaltigkeiten und Liegruppen.

Übung (Präsenzübung): Do, 17:45-19:15 Uhr, S1

Literatur

Folgende Literatur kann flankierend auch mit verwendet werden. Detailliertere Empfehlungen erfolgen im Rahmen der Vorlesung.
  • P. Deligne and J.W. Morgan: Notes on supersymmetry (following Joseph Bernstein). Quantum fields and strings: a course for mathematicians, vol. 1, 41-97, AMS 1999
  • D.A. Leites: Introduction to the theory of supermanifolds. Russ. Math. Surveys 35, 1-64, 1980
  • Y.I. Manin: Gauge Field Theory and Complex Geometry, 2nd edition. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 289, Springer-Verlag 1988
  • F. Constantinescu und H.F. de Groote: Geometrische und algebraische Methoden der Physik: Supermannigfaltigkeiten und Virasoro-Algebren, Teubner 1994
  • V.S. Varadarajan: Supersymmetry for mathematicians: an introduction, AMS 2004

Skript

hier (Stand vom 9.6.2011).

  • 6.4.2011: 1-2.5
  • 13.4.2011: 2.6-2.16 (ohne Beweis 2.14)
  • 20.4.2011: Beweis 2.14-2.27
  • 27.4.2011: 2.28-Beweis 3.7
  • 4.5.2011: Ende Beweis 3.7-4.1
  • 11.5.2011: 4.2-4.11 (ohne Beweis)
  • 18.5.2011: Beweis 4.11-4.22 (inkl. Beweis)
  • 25.5.2011: 4.24-4.39
  • 1.6.2011: 4.40-4.51
  • 8.6.2011: 4.52-Beweis 4.61
  • 22.6.2011: 4.64-4.74
  • 29.6.2011: 4.75-4.79
  • 6.7.2011: 4.80-4.92
  • 13.7.2011: 4.93-5.8

Übungen

hier

Letzte Aktualisierung: 21.7.2011.