In der Vorlesung werden wir uns mit der Konstruktion (insbesondere irreduzibler) unitärer Darstellungen reduktiver Liegruppen (wie $\mathrm{U}(n)$, $\mathrm{GL}(n,\mathbb R)$ und $\mathrm{Sp}(2n,\mathbb R)$) befassen. Das Modellbeispiel ist der Satz von Borel-Weil, der zeigt, dass sich im Fall kompakter Liegruppen alle solchen Darstellungen als die holomorphen Schnitte eines Geradenbündels auf einer Fahnenmannigfaltigkeit realisieren lassen. Für allgemeine (nicht notwendig kompakte) reduktive Gruppen werden wir das Problem der Konstruktion unitärer Darstellungen mit Hilfe der Theorie der $(\mathfrak{g},K)$-Moduln algebraisieren und die Borel-Weil-Konstruktion durch die Einführung der parabolischen und der cohomologischen parabolischen Induktion abstrahieren und verallgemeinern. Schließlich wollen wir unipotente Darstellungen untersuchen. Dies sind besonders `kleine' irreduzible Darstellungen, die mit gewöhnlicher und cohomologischer Induktion dazu ausreichen sollen, alle irreduziblen unitären Darstellungen zu konstruieren. Dieser letzte Teil der Vorlesung wird Überblickscharakter haben.

Die Vorlesung bietet Master- und Diplomstudierenden die Möglichkeit, vertiefte Kenntnisse im Bereich der Darstellungstheorie von Liegruppen zu erwerben. Zum Selbststudium werden gelegentlich Aufgaben ausgegeben, einen Übungsbetrieb wird es aber nicht geben.

Voraussetzungen: Kenntnisse über Liealgebren und/oder algebraische oder Liegruppen. Die vorausgesetzten Analysis-Kenntnisse gehen nicht wesentlich über den Kanon der Grundvorlesungen hinaus.

Skript

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  • 13.10.2010: 1.1.1-1.1.8 (mit Beweis).
  • 19.10.2010: 1.1.9-1.1.15 (ohne Beweis).
  • 26.10.2010: Beweis 1.1.15-1.2.7 (ohne Beweis).
  • 2.11.2010: Vorlesung wg. Tagung auf 9.11.2010, 16 Uhr, verlegt.
  • 9.11.2010, 10:15 Uhr: Beweis 1.2.7-1.3.6
  • 9.11.2010, 16 Uhr: 1.3.6-1.3.13 (ohne Beweis).
  • 16.11.2010: Beweis 1.3.13-1.6.4 (mit Beweis). Beweise für Lemmata 1.6.2 und 1.6.5 werden in der nächsten Sitzung behandelt.
  • 23.11.2010: Beweise für Lemmata 1.6.2, 1.6.5.-2.1.6 (ohne Beweis).
  • 30.11.2010: Beweis 2.1.6-2.2.5.
  • 7.12.2010: 2.2.6-2.4.5 (ohne Beweis)
  • 14.12.2010: Beweis 2.4.5-2.6.2 (mit Beweis). Der Beweis von Theorem 2.6.1 wird nachgeliefert.
  • 21.12.2010: Vorlesung musste wegen Schneegestöbers und Deutscher Bahn ausfallen. Im Neuen Jahr wird ein Ersatztermin festgelegt.
  • Ersatztermin ist Mittwoch, 26.1.2011, um 14 Uhr im Hösaal des MI
  • 11.1.2011: Beweis 2.6.1-3.2.2
  • 18.1.2011: 3.2.3-3.3.4
  • 25.1.2011: 3.3.5-3.5.7
  • 26.1.2011: 3.5.8-Beweis 3.5.9 (in Abschnitt 3.9)
  • Plan 1.2.2011: $(\mathfrak{g},K)$-Moduln, relative Cohomologie und der Beweis von Borel-Weil-Bott (Übersichtsvortrag)

Literatur

Folgende Literatur wurde bislang verwendet, wobei im wesentlichen [Knapp 1988] gefolgt wurde.
  • Dixmier, J.: Enveloping Algebras. North-Holland, Amsterdam 1977
  • Folland, G.B.: A Course in Abstract Harmonic Analysis. CRC Press, Boca Raton 1995
  • Knapp, A.W.: Representation Theory of Semi-Simple Lie Groups. An Overview Based on Examples. Princeton University Press, Princeton 1986
  • Knapp, A.W.: Lie Groups, Lie Algebras, and Cohomology. Princeton University Press, Princeton 1988
Letzte Aktualisierung: 26.1.2011.