Diese Vorlesung ist Teil des Lehrangebots innerhalb des Master-Studiengangs im Fach Mathematik. Sie richtet sich an beginnende Masterstudierende, Diplomstudierende und fortgeschrittene Bachelorstudierende ab dem sechsten Hochschulsemester. Interessierte Doktoranden oder Postdoktoranden sind auch sehr willkommen. Der Schwierigkeitsgrad wird sich an dem Teil des Hörerkreises mit den geringsten Vorkenntnissen orientieren.

Gegenstand der Vorlesung ist eine fundierte Einfürung in die Theorie der abstrakten harmonischen Analyse. Man betrachtet dabei eine lokalkompakte Gruppe und möchte die (unitären) Darstellungen dieser Gruppen (auf unendlich-dimensionalen Hilberträumen) verstehen.

Dabei macht man neben der Lokalkompaktheit möglichst wenige (am besten gar keine) zusätzlichen Voraussetzungen an die Gruppe und versucht, in einem abstrakten Rahmen möglichst viel über die Gruppen, ihre Darstellungen und die anderen in diesem Zusammenhang definierten Objekte, wie die Faltungsalgebra der integrierbaren Funktionen auf der Gruppe, zu erfahren.

Typische Beispiele für lokal-kompakte Gruppen sind Liegruppen, aber es gibt auch viele andere Beispiele, die weit davon entfernt sind, Liegruppen zu sein, und dennoch genug Struktur haben, um eine reichhaltige und interessante Theorie zu erhalten: Etwa das Produkt abzähbar unendlich vieler Kopien der Gruppe mit zwei Elementen (d.h. die Gruppe der 2-adischen Entwicklungen), die additive oder auch die multiplikative Gruppe der p-adischen Zahlen, oder auch die additive Gruppe der reellen Zahlen mit der diskreten Topologie. (Wobei die letzte dieser Gruppen eher ein Quell von Gegenbeispielen ist.)

Wir werden uns in der Vorlesung an dem sehr schönen Buch von G. Folland: "A Course in Abstract Harmonic Analysis" (CRC Press, 1995) orientieren. Voraussetzungen sind grundlegende Kenntnisse in Topologie, Maßtheorie und Funktionalanalysis, wie man sie ab dem sechsten Hochschulsemester meist hat. Fehlende Voraussetzungen oder speziellere Sätze, auf die zurückgegriffen wird, können in Absprache mit den Teilnehmern/innen im Verlauf der Vorlesung nachgeholt werden.

Es wird vorlesungsbegleitend, falls erwüscht, ein LaTeX-Skriptum angefertigt werden. Auf Wunsch können auf Basis einer mündlichen Prüfung Leistungspunkte kreditiert werden.

Hier ein kurzer Abriss der geplanten Inhalte:

  • Das Haarmaß auf einer lokalkompakten Gruppe: Konstruktion und Anwendungen.
  • Unitäre Darstellungen, Gruppenalgebra, Funktionen positiven Typs. Die Konstruktion von Gelfand-Naimark-Segal. Satz von Gelfand-Raikov.
  • Analysis auf lokalkompakten abelschen Gruppen: duale Gruppe, Fouriertransformation, Pontrjagin-Dualität.
  • Analysis auf kompakten Gruppen: Satz von Peter-Weyl, abstrakte Fouriertransformation.
  • Induzierte Darstellungen: Der Reziprozitätssatz von Frobenius, Induktion in Stufen, Imprimitivitätssysteme. Die Methode der kleinen Gruppen von Mackey.
  • Ein wichtiges Beispiel: Die Heisenberggruppe.

Skript

Stand: 22.7.2009