Das Kardinalproblem der geometrischen Maßtheorie ist die Lösung des so genannten Plateau-Problems: Gibt es unter den Flächen mit einem festen vorgegebenen Rand eine mit minimalem Flächeninhalt (eine so genannte Minimalfläche)?

In der Natur wird dieses Problem in vielen Situationen gelöst, das bekannteste Beispiel sind Seifenblasen, die als Rand einen gebogenen Draht besitzen. Allerdings bereitet die mathematische Formulierung des Problems etliche Schwierigkeiten.

Entscheidend ist hierbei, einen geeigneten Flächenbegriff zu finden, da viele natürliche Flächen Singularitäten haben können, so zum Beispiel die 'double bubbles', also Seifenblasen mit Selbstüberschneidungen. Die richtige Definition ist die des Flusses, zugleich eine Verallgemeinerung einer Untermannigfaltigkeit, einer Differentialform und eines Maßes. Diese Begriffsbildung führt über viele tiefe und schöne Resultate der mathematischen Analysis.

Ziel der Vorlesung ist es, in Form eines Steilkurses von den Grundbegriffen der Maßtheorie ausgehend zur Lösung des allgemeinen Plateau-Problems von De Giorgi in metrischen Räumen zu kommen. Dabei soll neben der Darstellung klassischer Resultate der sehr neue und bahnbrechende Ansatz von Ambrosio-Kirchheim verfolgt werden, so dass zu Ende der Vorlesung der Stand der aktuellen Forschung in greifbare Nähe rücken soll.

Einige Schlagwörter zum Inhalt:

  • Grundlagen der Maßtheorie,
  • Überdeckungssätze von Vitali und Besicovich,
  • Differentiation von Maßen,
  • Caratheodory-Konstruktion des Hausdorff-Maßes, Hausdorff-Dimension, fraktale Mengen,
  • Ausdehnung und metrische Differenzierbarkeit von Lipschitz-Funktionen,
  • Rektifizierbarkeit, Dichten und approximative Tangentialräume,
  • Normal- und Integralflüsse auf metrischen Räumen,
  • Abschluss- und Dichtesatz von Ambrosio-Kirchheim-Federer,
  • Plateau-Problem.

Die Vorlesung ist geeignet für interessierte Studierende der Mathematik ab dem 6. Semester. Je nach Hörerkreis wird die Vorlesung aus Deutsch oder Englisch abgehalten werden. Die Vorlesung ist zweistündig, ohne Übungen. Es wird ein getipptes Skriptum zur Vorlesung geben.

Skript

Es kann hier abgerufen werden.

Voraussetzungen: Grundvorlesungen, Lebesgue-Integral, Grundkenntnisse der Topologie metrischer Räume.

Literaturangaben