Die Vorlesung ist Bestandteil des Grundstudiums in den Studiengängen Diplom Mathematik und Technomathematik; als Wahlpflichtfach kann sie auch im Rahmen des Mathematikstudiums zur Erlangung des Lehramts an Gymnasien und Gesamtschulen belegt werden.

In der Analysis I wird die Integration auf der reellen Zahlengeraden eingeführt; ihre Bedeutung liegt dort vor allem im Auffinden von Stammfunktionen, also in der Lösung der Differentialgleichung $ F'=f$ für vorgegebenes $ f$. Nachdem in der Analysis II in die Geometrie endlich-dimensionaler Vektorräume und ihrer Teilmengen eingeführt und in der Analysis III die Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen studiert wurde, darf man die Frage stellen, inwiefern die Existenz von Stammfunktionen in einem mehrdimensionalen Kontext vorliegt. Die einfache Antwort auf die Frage lautet, dass im allgemeinen nicht von der Existenz ausgegangen werden kann; die interessantere Antwort ist, dass dies von `globalen' Eigenschaften des geometrischen Gebildes abhängt, auf dem man die Stammfunktion sucht. Dies führt auf ein genaueres Studium der mehrdimensionalen Integration und der geometrischen Gebilde, über die man (statt über Intervalle in $\mathbb R$) integriert.

1. Schritt: (mehrfache) Integrale

Die Variante der mehrdimensionalen Integration, die sich auf Grund ihrer guten Eigenschaften (wie etwa der Vertauschbarkeit mit Limiten unter einfach zu überprüfenden Voraussetzungen) durchgesetzt hat, ist die Theorie des so genannten Lebesgue-Integrals. Da ein genaueres Studium dieses Integrals einer Vorlesung über Maßtheorie vorbehalten sein sollte, werden wir einem konzisen Zugang folgen, der von Alfons van Daele vorgeschlagen wurde (siehe Referenzen).

2. Schritt: Geometrie

Nach der Grundlegung der mehrdimensionalen Integration werden wir die geometrischen Gebilde untersuchen, über die wir integrieren möchten. Dies sind Teilmengen von $\mathbb R^n$ wie die Kugeloberfläche (Sphäre) oder die Oberfläche eines Doughnuts (Torus). Der Sammelbegriff für diese Gebilde ist das etwas antiquierte Wort `Untermannigfaltigkeit'.

3. Schritt: Integrale plus Geometrie

Als dritten Schritt bringen wir Geometrie (Untermannigfaltigkeiten) und Integration (à la Lebesgue) zusammen: Es stellt sich heraus, dass die natürlichen Integranden im allgemeinen nicht Funktionen, sondern so genannten Formen sind, denn sie erlauben den Beweis einer allgemeinen `Substitutionsregel'. Die Betrachtung dieser Formen hat aber nicht nur mathematisch-theoretische Gründe, sondern auch eine physikalische Motivation, etwa aus der Theorie des Elektromagnetismus.

Kulminationspunkt der Vorlesung werden die Sätze von Stokes bzw. Gauß sein, zusammen mit einigen Anwendungen. Einerseits möchte ich etwas zu den Anwendungen in der Physik sagen; andererseits möchte ich den Satz von Gauß-Bonnet beweisen. Dieser Satz zeigt eindrucksvoll, wie globale Eigenschaften geometrischer Gebilde sich auf analytische Probleme auswirken. (Davon ist die Nichtexistenz von Stammfunktionen ein Beispiel.)

Literatur

Für den Abschnitt über Untermannigfaltigkeiten und Integration auf ihnen werde ich auf das Analysis III-Buch von Ottmar Loos zurückgreifen, das frei im Internet verfügbar ist. Empfehlenswert ist als Begleiter zur Vorlesung das Analysis III-Buch von Otto Forster, welches in der Bilbliothek vorhanden ist. Für den Satz von Gauß-Bonnet werde ich das Buch von Victor Guillemin und Sidney Pollack benutzen, dessen eigenlicher Gegenstand aber ein anderer als Integration auf Untermannigfaltigkeiten ist. Als Begleitlektüre ist es wohl weniger geeignet, obwohl es ohne Zweifel ein echter Klassiker ist. (Referenzen siehe unten.)

  • Forster, O.: Analysis III. Fr. Vieweg & Sohn, Braunschweig 2000
  • Guillemin, V.; Pollack, S.: Differential Topology. Prentice--Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1974
  • Loos, O.: Analysis III. http://www.uibk.ac.at/mathematik/loos/A3.pdf
  • Van Daele, A.: The Lebesgue Integral without Measure Theory. Am. Math. Monthly 97 (1990), no. 10, S. 912-915

Überarbeitetes Skript mit Übungen

Es wurden folgende Inhalte behandelt:

  • 11.7.2007 Beweis 3.8.9-3.8.16 (inkl. Beweis der Existenz).
  • 9.7.2007 Beweis 3.8.6-3.8.8 (inkl. Beweis).
  • 4.7.2007 Beweis 3.7.13-3.8.5.
  • 2.7.2007 3.7.9-3.7.13 (Formulierung).
  • 27.6.2007 Beweis 2.4.2-3.7.8.
  • 25.6.2007 3.5.12-Beweis 3.6.2.
  • 21.6.2007 3.5.1-3.5.11.
  • 18.6.2007 3.4.1-3.4.5 (inkl. Beweis).
  • 13.6.2007 3.3.10-3.3.21.
  • 11.6.2007 3.3.4-3.3.9 (inkl. Beweis).
  • 6.6.2007 3.2.1-3.3.3.
  • 4.6.2007 Beweis 3.1.14-3.1.17 (inkl. Beweis).
  • 30.5.2007 2.3.4-3.1.16 (inkl. Beweisidee).
  • 23.5.2007 2.2.11-2.3.11.
  • 21.5.2007 2.2.9.
  • 16.5.2007 2.2.1 (Beweis (iii) $\Rightarrow$ (i))-2.2.8.
  • 14.5.2007 2.2.1 (inkl. Beweis (i) $\Rightarrow$ (ii) und (ii) $\Rightarrow$ (iii)).
  • 9.5.2007 1.8.5-2.1.5 (inklusive Beweis).
  • 7.5.2007 1.8.2-1.8.4.
  • 2.5.2007 1.7.8-1.8.2. (Im Beweis haben wir die Formel für Diffeomorphismen bewiesen, die eine Komponente festhalten, und einen beliebigen Diffeomorphismus lokal als Verknüpfung zweier solcher spezieller Diffeomorphismen dargestellt.)
  • 30.4.2007 1.7.6-1.7.7 (inklusive Beweis 1.7.2).
  • 25.4.2007 1.6.7-1.7.5 (inklusive Beweis).
  • 23.4.2007 1.6.3-1.6.6 (inklusive Beweis 1.6.5).
  • 18.4.2007 1.4.1-1.6.2 (inklusive Beweis).
  • 16.4.2007 1.3.6-1.4.1.
  • 11.4.2007 1.1.12-1.3.6 (Formulierung des Satzes).
  • 4.4.2007 1.1.3-1.1.12 (inklusive Beweis (i)).
  • 2.4.2007 Einleitung, 1.1.1-1.1.3 (Formulierung des Satzes).

Formalitäten

Aktuelles:

  • Klausur: Freitag, 20.7.2007, 9-12 Uhr, in Raum D1.312.
  • Ab Montag, 14.5.2007, beginnt die Montagsvorlesung um 9:05 Uhr.
  • Terminverschiebungen: Am Karfreitag (6.4.) fällt die Übung aus, Ausweichtermin: Do, 12.4.2007, 16-18 Uhr (Raum D1.303). Die Ostermontags-VL vom 9.4. wird auf 8:15-9:00 Uhr am Mittwoch, 11.4., verlegt (Raum E2.304).

Weitere Informationen zu dieser Vorlesung:

  • Übungsblätter und Musterlösungen gibt es über das Studinfo-System.
  • Vorlesungstermine: Mo, 9-10 Uhr, D1; Mi, 9-11 Uhr, E2.304.
  • Übungszeiten: Fr, 11-13 Uhr, E2.304.
  • Die Scheinkriterien: Bestehen einer Klausur. Wöchentlich werden je zwei Übungsaufgaben für das Tutorium vorbereitet und dort vorgerechnet. Zusätzlich gibt es eine Präsenzaufgabe in der Übung. Beides ist fakultativ, de facto für das Verständnis notwendig und wird bei entsprechender Qualität durch Bonuspunkte für die Klausur honoriert.

Termine:

  • Die Vorlesungszeit für das Sommersemester 2007 ist der Zeitraum vom 2.4.2007-13.7.2007.
  • Feiertage in diesem Zeitraum sind: Fr, 6.4. (Karfreitag), Mo, 9.4. (Ostermontag), Di, 1.5. (Maifeiertag), Do, 17.5. (Christi Himmelfahrt), Mo, 28.5. (Pfingstmontag) sowie Do, 7.6. (Fronleichnam).

Die Anmeldung zum Übungsbetrieb erfolgt über das StudInfo-System.

Aktuelles:

  • Die Klausur findet am Freitag, 2.2.2007, von 14-17 Uhr in den Hörsälen P5.2.03 und P7.2.03 statt. Anmeldung und Sitzzuteilung erfolgt über das StudInfo-System.
  • Die Vorlesung findet ab sofort wieder im üblichen Turnus statt: 1 Stunde montags, 2 Stunden dienstags.
  • Raumänderung: Ab Mittwoch, den 22.11.2006, findet die Mittwochsübung in Hörsaal H4 statt.