Lie-Superalgebren sind Verallgemeinerungen von Liealgebren, die eine Graduierung über $\mathbb Z/2\mathbb Z$ besitzen. Sie sind aus der Elementarteilchenphysik motiviert (bosonische und fermionische Statistik). Schon die einfachsten Beispiele von Lie-Superalgebren, $\mathfrak{gl}(m|n)$ (die graduierte Matrixalgebra), $\mathfrak{osp}(m|2n)$ (die orthogonal-symplektische Algebra der graduierten Matrizen, die eine supersymmetrische Form invariant lassen) sowie $\mathfrak q(n)$ (die $n|n\times n|n$ Matrizen, die mit einer ungeraden Involution vertauschen) sind auf subtile Weise von ihren ungraduierten Verwandten verschieden: insbesondere zerfallen nicht alle endlich-dimensionalen Darstellungen als direkte Summe von einfachen. In jüngster Zeit (seit 2006) hat man in der Theorie bahnbrechende Fortschritte gemacht. Insbesondere hat man eine Reihe von ``Super-Dualitäten'' von Kategorien von Darstellungen endlich-dimensionaler Lie-Superalgebren und unendlich-dimensionaler Liealgebren entdeckt. Wir werden uns an Beispielen orientiert die Theorie endlich-dimensionaler Darstellungen von Lie-Superalgebren erschließen und die Super-Dualität im Fall von $\mathfrak{gl}(m|n)$ beweisen. Wir folgen dem Manuskript eines (noch nicht veröffentlichten) Buches der Mathematiker S.-J. Cheng und W. Wang.

Stichworte:

  • Beispiele von LSA
  • ungerade Spiegelungen, Höchstgewichtstheorie
  • Harish-Chandra-Homomorphismus, Charaktere und Linkage
  • Schur-Dualität
  • Howe-Dualität
  • Super-Dualität im $\mathfrak{gl}$-Fall

Zielgruppe: Masterstudenten in Mathematik; Vorkenntnisse in Liealgebren sind nützlich. Inhaltliche Zuordnung (f.d. B/M-Studium Mathematik/Wirschaftsmathematik): Algebra und Zahlentheorie. Inhaltliche Zuordnung (f.d. Lehramtsstudium): B (Algebra und Grundlagen).

Termine

Vorlesung: Mo, 10-11:30 Uhr, S3 am MI; Do, 14-15:30 Uhr, S1 am MI

Übung: Do, 16-17:30, S1 am MI.

Literatur

  • S.-J. Cheng, W. Wang, Dualities and Representations of Lie Superalgebras, Buchmanuskript
  • M. Scheunert, The theory of Lie superalgebras. An introduction. Lecture Notes in Mathematics, 716. Springer, Berlin 1979